Теорема об абсолютной сходимости

Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ также сходится.

Пусть ряд $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ сходится. По **критерию Коши** $\forall{\varepsilon > 0}~~\exists{N}~~$ $m > k \ge N$: $$|a_{k+1}| + |a_{k+2}| + \dots + |a_m| < \varepsilon$$Тогда для частичных сумм ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$:$$|S_m - S_k| = |a_{k+1} + a_{k+2} + \dots + a_m| \le |a_{k+1}| + |a_{k+2}| + \dots + |a_m| < \varepsilon$$ Это означает, что последовательность частичных сумм ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ удовлетворяет **критерию Коши**, а значит, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится. $~~~ \square$